ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Download Download
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα [1,2]. Να γίνουν 3
επαναλήψεις της μεθόδου της διχοτόμησης. Πόσες επαναλήψεις πρέπει να γίνουν ώστε
;
2. Η συνάρτηση έχει αντίθετα πρόσημα στα σημεία 0 και 1. Ποιό σημείο εντοπίζει η
μέθοδος της διχοτόμησης αν εφαρμοστεί στο διάστημα [0,1]; Είναι αυτό το σημείο ρίζα της
;
3. Η εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα στο [0,1]. Να δειχθεί ότι η γενική
επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει στη ρίζα αυτή για οποιοδήποτε στο
[0,1]. Να γίνουν 3 επαναλήψεις με και να δοθεί μια εκτίμηση του σφάλματος .
Επίσης, θέτοντας , να δειχθεί ότι όταν
4. Να δειχθεί ότι η ακολουθία , με , συγκλίνει στο 1 γραμμικά και ότι η ακολουθία ,
με , συγκλίνει στο 1 τετραγωνικά.
5. Έστω και μια λύση της εξίσωσης στο [a,b].
Έστω επίσης η γενική επαναληπτική μέθοδος με Να δειχθεί ότι,
αν τότε η ακολουθία συγκλίνει στο μονότονα, ενώ αν
τότε η συγκλίνει στο και το βρίσκεται πάντα μεταξύ δύο διαδοχικών
επαναλήψεων.
6. Έστω η εξίσωση . Υποθέτουμε ότι και ότι η εξίσωση αυτή έχει μια ρίζα .
Γράφοντας την εξίσωση αυτή στην ισοδύναμη μορφή ,
να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η επαναληπτική μέθοδος δεδομένο,
συγκλίνει για αρκετά κοντά στο . Για ποιά (θεωρητική) τιμή του η σύγκλιση είναι
υπεργραμμική;
7. Να δειχθεί ότι η επαναληπτική μέθοδος , με , συγκλίνει στην μοναδική ρίζα 0
της εξίσωσης , για κάθε αρχικό (και άρα για κάθε , γιατί;), παρόλο που
δεν ισχύει η συνθήκη (αφού έχουμε εδώ ). Αντίθετα, να δειχθεί ότι η
επαναληπτική μέθοδος, με , δεν συγκλίνει για κανένα αρχικό στη μοναδική ρίζα
0 της εξίσωσης , και ότι πάλι δεν ισχύει η συνθήκη .
8. Έστω η εξίσωση . Να εφαρμοστεί η μέθοδος Newton-Raphson για την εύρεση
μιας προσέγγισης της ρίζας της εξίσωσης αυτής τέτοια ώστε να ισχύει . Ο
εντοπισμός του αρχικού σημείου να γίνει γραφικά.
9. Ο αντίστροφος ενός αριθμού μπορεί να υπολογιστεί χωρίς διαίρεση από τον αλγόριθμο
a) Να δειχθεί ότι η σχέση αυτή προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου Newton Raphson
στην εξίσωση . Για ποιες αρχικές τιμές η ακολουθία συγκλίνει;
b) Με , να γίνουν 2 επαναλήψεις για να υπολογιστεί μια προσέγγιση του αντίστροφου του
αριθμού 4 με τη μέθοδο αυτή.
10. Η εξίσωση έχει μόνο μια πραγματική ρίζα και μάλιστα η ρίζα αυτή βρίσκεται στο
διάστημα (2,3). Αποδείξτε αναλυτικά ότι, αν , τότε η ακολουθία που παράγει η μέθοδος
Newton-Rapshon συγκλίνει στη ρίζα . (Υπόδειξη: Δείξτε ότι η ακολουθία , , είναι
φθίνουσα και κάτω φραγμένη).
11. Να εφαρμοστεί η μέθοδος της Τέμνουσας για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης με
(δύο επαναλήψεις).
12. Να εφαρμοστεί η μιγαδική μέθοδος Newton-Rapshon στην εξίσωση (τρεις
επαναλήψεις, με ).
13. Να εφαρμοστεί η μέθοδος Newton-Raphson στο μη γραμμικό σύστημα
με (μία επανάληψη).
Download Download
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα [1,2]. Να γίνουν 3
επαναλήψεις της μεθόδου της διχοτόμησης. Πόσες επαναλήψεις πρέπει να γίνουν ώστε
;
2. Η συνάρτηση έχει αντίθετα πρόσημα στα σημεία 0 και 1. Ποιό σημείο εντοπίζει η
μέθοδος της διχοτόμησης αν εφαρμοστεί στο διάστημα [0,1]; Είναι αυτό το σημείο ρίζα της
;
3. Η εξίσωση έχει μια μοναδική ρίζα στο [0,1]. Να δειχθεί ότι η γενική
επαναληπτική μέθοδος συγκλίνει στη ρίζα αυτή για οποιοδήποτε στο
[0,1]. Να γίνουν 3 επαναλήψεις με και να δοθεί μια εκτίμηση του σφάλματος .
Επίσης, θέτοντας , να δειχθεί ότι όταν
4. Να δειχθεί ότι η ακολουθία , με , συγκλίνει στο 1 γραμμικά και ότι η ακολουθία ,
με , συγκλίνει στο 1 τετραγωνικά.
5. Έστω και μια λύση της εξίσωσης στο [a,b].
Έστω επίσης η γενική επαναληπτική μέθοδος με Να δειχθεί ότι,
αν τότε η ακολουθία συγκλίνει στο μονότονα, ενώ αν
τότε η συγκλίνει στο και το βρίσκεται πάντα μεταξύ δύο διαδοχικών
επαναλήψεων.
6. Έστω η εξίσωση . Υποθέτουμε ότι και ότι η εξίσωση αυτή έχει μια ρίζα .
Γράφοντας την εξίσωση αυτή στην ισοδύναμη μορφή ,
να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η επαναληπτική μέθοδος δεδομένο,
συγκλίνει για αρκετά κοντά στο . Για ποιά (θεωρητική) τιμή του η σύγκλιση είναι
υπεργραμμική;
7. Να δειχθεί ότι η επαναληπτική μέθοδος , με , συγκλίνει στην μοναδική ρίζα 0
της εξίσωσης , για κάθε αρχικό (και άρα για κάθε , γιατί;), παρόλο που
δεν ισχύει η συνθήκη (αφού έχουμε εδώ ). Αντίθετα, να δειχθεί ότι η
επαναληπτική μέθοδος, με , δεν συγκλίνει για κανένα αρχικό στη μοναδική ρίζα
0 της εξίσωσης , και ότι πάλι δεν ισχύει η συνθήκη .
8. Έστω η εξίσωση . Να εφαρμοστεί η μέθοδος Newton-Raphson για την εύρεση
μιας προσέγγισης της ρίζας της εξίσωσης αυτής τέτοια ώστε να ισχύει . Ο
εντοπισμός του αρχικού σημείου να γίνει γραφικά.
9. Ο αντίστροφος ενός αριθμού μπορεί να υπολογιστεί χωρίς διαίρεση από τον αλγόριθμο
a) Να δειχθεί ότι η σχέση αυτή προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου Newton Raphson
στην εξίσωση . Για ποιες αρχικές τιμές η ακολουθία συγκλίνει;
b) Με , να γίνουν 2 επαναλήψεις για να υπολογιστεί μια προσέγγιση του αντίστροφου του
αριθμού 4 με τη μέθοδο αυτή.
10. Η εξίσωση έχει μόνο μια πραγματική ρίζα και μάλιστα η ρίζα αυτή βρίσκεται στο
διάστημα (2,3). Αποδείξτε αναλυτικά ότι, αν , τότε η ακολουθία που παράγει η μέθοδος
Newton-Rapshon συγκλίνει στη ρίζα . (Υπόδειξη: Δείξτε ότι η ακολουθία , , είναι
φθίνουσα και κάτω φραγμένη).
11. Να εφαρμοστεί η μέθοδος της Τέμνουσας για την εύρεση της ρίζας της εξίσωσης με
(δύο επαναλήψεις).
12. Να εφαρμοστεί η μιγαδική μέθοδος Newton-Rapshon στην εξίσωση (τρεις
επαναλήψεις, με ).
13. Να εφαρμοστεί η μέθοδος Newton-Raphson στο μη γραμμικό σύστημα
με (μία επανάληψη).
